定义与作用：
当有两个或者两个以上的因素对因变量产生影响时，可以用多因素方差分析的方法来进行分析。多因素方差分析亦称“多向方差分析”，原理与单因素方差分析基本一致，也是利用方差比较的方法，通过假设检验的过程来判断多个因素是否对因变量产生显著性影响。在多因素方差分析中，由于影响因变量的因素有多个，其中某些因素除了自身对因变量产生影响之外，它们之间也有可能会共同对因变量产生影响。
在多因素方差分析中，把因素单独对因变量产生的影响称之为“主效应”；把因素之间共同对因变量产生的影响，或者因素某些水平同时出现时，除了主效应之外的附加影响，称之为“交互效应”。多因素方差分析不仅要考虑每个因素的主效应，往往还要考虑因素之间的交互效应。
此外，多因素方差分析往往假定因素与因变量之间的关系是线性关系。从这个方面来说，方差分析的模型也是如下一个一般化线性模型的延续：
1. 在无交互效应的情况下：因变量=因素 1 主效应+因素 2 主效应+…+因素 n 主效应+随机误差
2. 在有交互效应的情况下：因变量=因素1主效应+因素2主效应+…+因素n主效应+因素交互效应1+因素交互效应2+…+因素交互效应m+随机误差。
所以多因素方差分析往往选用一般化线性模型(General Iinear Model)进行参数估计。
基本假设：
以三因素方差分析为例：
设有三个因素A，B，C，因素A取r个水平，分别记为A1，A2，，Ar；因素B取S个水平，分别记为B1，B2，…，Bs；因素C取t个水平，分别记为C1，C2，…，Ct。在水平组合(Ai，Bj，Ck)下样本相互独立，且
其中，i =1,2,…,r;j = 1,2,…,s;k = 1,2,…,t.称μ为一般平均，αi为因素A的第i个水平的效应，βj为因素B的第j个水平的效应，γk为因素C的第K和水平的效应。显然，αi，βj，γk满足如下关系式：
1. 提出假设
H01 : α1 = α2 = … = αr = 0,因素A对因变量没有显著影响;
H02 : β1 = β2 = … = βr = 0,因素B对因变量没有显著影响;
H03 : γ1 = γ2 = … = γr = 0,因素C对因变量没有显著影响。
2. 构造检验统计量
则：因素A产生的误差平方和为：
因素B产生的误差平方和为：
4. 检验规则
若 FA > F1-α(r-1，(r-1)(s-1)(t-1) + (r-1)(t-1) + (r-1)(s-1) + (s-1)(t- 1))，则拒绝 H01 ,表示在因素 A 的各水平下的效应有显著差异;
若 FB > F1-α(s-1，(r-1)(s-1)(t-1) + (r-1)(t-1) + (r-1)(s-1) + (s-1)(t- 1))，则拒绝 H02 ,表示在因素 B 的各水平下的效应有显著差异;
若 FC > F1-α(k-1，(r-1)(s-1)(t-1) + (r-1)(t-1) + (r-1)(s-1) + (s-1)(t- 1))，则拒绝 H03 ,表示在因素 C 的各水平下的效应有显著差异。
参考文献：
- 郭萍.三因素方差分析的原理及应用[J].沈阳大学学报(自然科学版),2015,27(1):40-43.
